Etude des corps platoniciens en 8e classe

Les corps platoniciens font partie des solides les plus beaux et les plus riches d’un point de vue mathématique ; on les appelle aussi 
« solides parfaits ». Au cours des siècles, les savants et les artistes s’y sont intéressés : Platon, Archimède, Euclide, Léonard de Vinci, Kepler, Euler, et plus près de nous le dessinateur suisse Escher. 

En 8e classe, on étudie en géométrie les soli­des, objets qui s’inscrivent dans les 3 dimensions de l’espace. Les élèves atteignent 14 ans. Ils rentrent de plain-pied dans la puberté. Leur vie intérieure s’autonomise ; ce qu’ils présentent à l’extérieur est une façade destinée à cacher le chaos des sentiments. Le propre des solides est de posséder un espace intérieur caché, structuré par une enveloppe. Dans le travail avec les élèves, du cube au cône, on rencontre le pavé, les prismes et pyramides correspondantes, le cylindre. 
Chacun d’eux est mis à plat et matérialisé à partir de son « patron »; on peut le dessiner sous différents points de vue à l’aide de la « perspective cavalière » (dans laquelle le parallélisme est conservé, y com­pris dans la profondeur); et l’on apprend à calculer le « volume » qu’il occupe dans l’espace.  
Ce domaine des mathématiques s’inscrit dans le cursus de tout élève de collège, même si le fait de lui consacrer une « période » permet d’approfondir et de faire des liens. 

Mais il existe parmi les solides cinq configurations tout à fait particulières, connues et étudiées depuis l’Antiquité ; ce sont les « corps platoniciens » ou « so­lides parfaits » : le tétraèdre, le cube (ou hexaèdre) l’octaèdre, le dodécaèdre et l’icosaèdre. 

Entre le cube et l’octaèdre, le nombre de sommets et de faces s’intervertit, et ils possèdent le même nombre d’arêtes : on peut dire qu’ils sont, de ce point de vue, « polaires » entre eux. Il en est de même pour le dodécaèdre et l’ic0saèdre. Quant au tétraèdre, il est polaire à lui-même.

C’est cette propriété qui est utilisée dans le travail de modelage décrit ultérieurement.

Une autre particularité est que chacun possède une sphère circonscrite (tous les sommets lui ap­partiennent), ainsi qu’une sphère inscrite (tangente intérieurement à l’ensemble des faces).

« Ils font partie des solides les plus beaux et les plus riches d’un point de vue mathématique. Aucun autre corps géométrique ne contient autant de propriétés harmonieuses » (Renatus Ziegler). Dans la revue pédagogique allemande Lehrerrundbrief, Walter Kraul leur a consacré un article qui décrit le chemin qu’il a suivi avec des élèves de 8e classe. Voilà ce qu’il dit en préambule : « Dans /e cadre de la géométrie, chaque élève Waldorf devrait avoir rencontré les corps platoniciens … Ces cinq formes spatiales fondamentales appartiennent au patri­moine culturel général. On peut les construire avec /es élèves. Cela permet d’appliquer dans la pratique des constructions géométriques déjà connues, et aussi d’exercer /’exactitude. C’est par ailleurs un extraordinaire moyen d’exercer la faculté de re­présentation dans l’espace. Dans ces solides sont cachées des parentés étonnantes qui méritent d’être examinées de plus près « .

 

Un peu d’histoire !

Pythagore au VIe siècle av JC connaissait déjà le cube, le tétraèdre et le dodécaèdre.

Platon leur consacre un long passage du Ti­mée, dans lequel il explique leur genèse à partir de différents triangles. li les met ensuite en relation avec les éléments (terre, eau, air, feu) en justifiant de façon logique sa proposition. Le dodécaèdre, lui, est associé à l’Univers : « Il restait encore une combinaison, la cinquième ; c’est à l’Univers que le Dieu en fit application, pour en dessiner l’épure ».

Archimède, Euclide, Leonard de Vinci, Euler … Tous ont étudié les propriétés de ces corps, ainsi que leurs rapports réciproques.

Plus près de nous, le dessinateur MC Escher les a intégrés dans certaines de ses compositions.

Quant à Kepler, il eut à 25 ans la ré­vélation que ces cinq solides réguliers, emboîtés les uns dans les autres grâce à leurs sphères inscrites et circonscrites, permettaient de comprendre et de décrire les orbites de 5 des 6 planètes connues à son époque ; seule Jupiter, la plus éloi­gnée, semblait échapper à la règle. Il consi­gna ses découvertes dans son Mysterium Cosmographicum : c’était en 1596 !

 

Et maintenant, description d’un chemin de découverte possible !

Comme on peut le voir, le thème est riche ! Et les façons de l’aborder sont nombreuses. À chacun de trouver son chemin, en fonction du temps qui lui est imparti. À l’école Perceval, l’étude des solides parfaits fait partie des Travaux Manuels et Artistiques. Je dispose de 6 séquences de 2 heures en demi-groupes, ce qui est peu, mais suffisant pour une première approche.

Au début de la période, les élèves de 8e n’ont certainement jamais entendu parler de ces objets, à l’exception du cube.

La première étape consiste à expliquer ce qu’on entend par « parfait » : toutes les faces du solide doivent être identiques, et tous les sommets également. Ce qui conduit à l’idée que les faces doivent être « parfaites » elles aussi : triangle équilaté­ral, carré, pentagone régulier, hexagone régulier … Chacun construit et découpe un exemplaire de ces polygones réguliers ; et en petits groupes, on constitue des angles solides, points de départ d’un espace convexe. Cela permet de comprendre pourquoi il n’y a que cinq solides parfaits envisa­geables : on peut réunir en un sommet 3, 4 ou 5 triangles équilatéraux, 3 carrés, ou 3 pentagones ; l’hexagone régulier n’offre aucune possibilité.

La deuxième étape que j’ai choisie est celle du modelage, qui permet de décou­vrir à travers le sens du toucher les cinq polyèdres réguliers (comme on les appelle officiellement). Grâce au modelage, on peut suivre et comprendre les métamorphoses qui font passer d’un solide à un autre. C’est pour moi le cœur du travail et l’expérience la plus intéressante pour les élèves.

On commence par modeler une sphère les yeux fermés. En mettant la vue de côté, on s’intériorise et on fait confiance à ses mains et à ses doigts. Tout au long du travail d’approche par le modelage, on reviendra sans cesse à la sphère, le plus parfait de tous les solides.

À partir de la sphère, on peut aller facilement vers le cube, que les élèves connaissent déjà.

En aplatissant de façon régulière et progressive les sommets du cube grâce à des plans venus de la périphérie vers le centre, l’élève vit les différentes étapes et rencontre au passage les corps archimédiens (harmonieux et réguliers, mais non « parfaits »). Il arrive ainsi à une phase chaotique, et doit faire appel à sa volonté pour la traverser ; mais le résultat en vaut la peine ! Il fait naître entre ses doigts un nouveau solide, l’octaèdre. Les 8 sommets du cube sont devenus les 8 faces triangulaires de l’octaèdre; à la place des 6 faces carrées sont apparus 6 sommets.

La transformation du tétraèdre selon le même principe recèle bien des surprises ! Celle du dodécaèdre en icosaèdre n’est réalisable que par quelques élèves.

En effet, certains doivent lutter avec la terre pour faire apparaître des solides conformes à l’idée, mais qui restent éloignés de la perfection. Alors que d’autres parviennent sans difficulté à des formes régulières et harmonieuses, comme si leurs mains laissaient s’écouler un savoir géométrique préacquis ; cette observation est toujours étonnante pour le professeur.

Une troisième activité consiste à représenter certaines étapes du travail de modelage par le biais de la perspective cavalière. Cette technique, plus apollinienne, convient mieux à certains élèves et le résultat est satisfai­sant pour l’œil.

L’étude des corps platoniciens est sans fin, tant il y a de relations entre ces cinq polyèdres si particuliers.

Le chemin décrit ci-dessus en est un parmi d’autres. L’utilisation des patrons est aussi intéressante, mais elle demande du temps ; c’est pourquoi j’y ai renoncé.

On trouve bien évidemment sur Internet des animations fascinantes sur les corps platoniciens. À la suite d’un stage de découverte pour adultes, la maman d’une élève de 8e classe qui venait de faire la période voulut lui montrer un site où les solides tournent, se présentant sous différents points de vue. Remarque de l’élève : « C’est très joli, mais on ne peut pas les toucher ! ».

Voilà qui donne à réfléchir !

Danielle Burlotte